analyseSep 5, 2026

Une inegalité

idriss-bado

Member · Research discussion

Votes

Answers

Views

Exercice. Soient $a_1,\ldots,a_n>0$ tels que

a_1+\cdots+a_n=1.

Pour $1\le j\le n$ , on définit

q_j(x) = \frac{2e^{2a_j}}{a_j}\, \mathbf 1_{[0,a_j]}(x),

Q=q_1*q_2*\cdots*q_n.

Montrer que

\boxed{ \sup_{x\in[0,1]}Q(x)\ge 2^n e^2 }.

Replies

2 answers

idriss-bado

Research member

Sep 5, 2026

Preuve. Pour chaque $j$ ,

\int_{\mathbb R}q_j(x)\,dx = \frac{2e^{2a_j}}{a_j} \int_0^{a_j}dx = 2e^{2a_j}.

Comme l'intégrale d'une convolution est le produit des intégrales,

\int_{\mathbb R}Q(x)\,dx = \prod_{j=1}^n \int_{\mathbb R}q_j(x)\,dx.

Ainsi

\int_{\mathbb R}Q(x)\,dx = \prod_{j=1}^n 2e^{2a_j} = 2^n e^{2(a_1+\cdots+a_n)} = 2^n e^2.

D'autre part,

\operatorname{supp}(Q) = [0,a_1+\cdots+a_n] = [0,1].

Par conséquent,

2^n e^2 = \int_0^1Q(x)\,dx.

Puisque $Q\ge0$ ,

\int_0^1Q(x)\,dx \le \sup_{x\in[0,1]}Q(x).

Donc

\boxed{ \sup_{x\in[0,1]}Q(x)\ge 2^n e^2 }.

idriss-bado

Research member

Sep 5, 2026

Preuve. Pour chaque $j$ ,

\int_{\mathbb R}q_j(x)\,dx = \frac{2e^{2a_j}}{a_j} \int_0^{a_j}dx = 2e^{2a_j}.

Comme l'intégrale d'une convolution est le produit des intégrales,

\int_{\mathbb R}Q(x)\,dx = \prod_{j=1}^n \int_{\mathbb R}q_j(x)\,dx.

Ainsi

\int_{\mathbb R}Q(x)\,dx = \prod_{j=1}^n 2e^{2a_j} = 2^n e^{2(a_1+\cdots+a_n)} = 2^n e^2.

D'autre part,

\operatorname{supp}(Q) = [0,a_1+\cdots+a_n] = [0,1].

Par conséquent,

2^n e^2 = \int_0^1Q(x)\,dx.

Puisque $Q\ge0$ ,

\int_0^1Q(x)\,dx \le \sup_{x\in[0,1]}Q(x).

Donc

\boxed{ \sup_{x\in[0,1]}Q(x)\ge 2^n e^2 }.

You need a verified account to contribute. Create an account or log in to join the discussion.