Équation diophantienne

Bonjour, Il est facile de voir que $\forall x,y,z,t \in \Z,\quad xyzt =x^2+y^2+z^2+t^2 \implies x,y,z,t \text { sont pairs.}$ Ainsi le problème se ramène à la détermination de l'ensemble $\mathcal E =\big\{(x,y,z,t) \in (\N^*)^4 \mid 4xyzt =x^2+y^2+t^2+t^2,\: x\leqslant y \leqslant z \leqslant t \Big\}.$ On obtient: $\mathcal E =\Big\{\left(\varphi _1 \circ\varphi_2 \circ \dots\varphi_n\right)(1,1,1,1)\mid n\in \N, \; (\varphi_1, \varphi_2,\dots \varphi_n) \in \{f,g,h\}^n \Big\}$ où les images de $(x,y,z,t)$ par $f,g,h$ sont respectivement $(y,z,t,4yzt -x),\quad (x,z,t,4xzt-y),\quad (x,y,t,4xyt-z).$ $\mathcal E$ se structure ainsi en un "arbre infini" enraciné en $(1,1,1,1)$, dont les "premières branches" sont représentées ci-dessous.

Rendering equation…