Formule de Lefschetz : diagonale, graphe d’une application et dualité de Poincaré

Soit $M$ une variété compacte orientée de dimension $n$ et soit

$$f:M\longrightarrow M$$

une application différentiable.

On note

$$\Delta=\{(x,x)\,;\,x\in M\}$$

la diagonale de $M\times M$, et

$$\Gamma=\{(x,f(x))\,;\,x\in M\}$$

le graphe de $f$.

On note également

$$\pi:M\times M\longrightarrow M, \qquad \pi(x,y)=x,$$

la projection sur le premier facteur, et

$$\rho:M\times M\longrightarrow M, \qquad \rho(x,y)=y,$$

la projection sur le second facteur.

L'objectif de l'exercice est de relier l'intersection de $\Delta$ et $\Gamma$ aux points fixes de $f$, puis d'exprimer cette intersection en termes cohomologiques afin d'obtenir la formule de Lefschetz.

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1. Diagonale, graphe et points fixes

Montrer que $\Delta$ et $\Gamma$ sont des sous-variétés compactes orientées de $M\times M$ et préciser leur dimension.

Soit

$$p\in\Delta\cap\Gamma.$$

Donner une condition portant sur

$$\det(d_pf-\operatorname{Id})$$

pour que $\Delta$ et $\Gamma$ se coupent transversalement en $p$.

Montrer que si

$$\Delta\pitchfork\Gamma,$$

alors l'ensemble des points fixes

$$\operatorname{Fix}(f) = \{x\in M\,;\,f(x)=x\}$$

est fini.

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2. Dual de Poincaré de la diagonale

Montrer qu'il existe une unique classe

$$\omega\in H^n(M\times M)$$

telle que, pour toute classe

$$\eta\in H^n(M\times M),$$

on ait

$$\int_{\Delta}\eta = \int_{M\times M}\eta\wedge\omega.$$

La classe $\omega$ est appelée le dual de Poincaré de $\Delta$ et est notée

$$PD(\Delta).$$

De même, on note

$$PD(\Gamma)\in H^n(M\times M)$$

le dual de Poincaré du graphe $\Gamma$.

Pour chaque $i=0,\ldots,n$, on fixe une base

$$\{\omega_1^i,\ldots,\omega_{n_i}^i\}$$

de $H^i(M)$, où

$$n_i=\dim H^i(M).$$

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3. Bases duales pour l'accouplement de Poincaré

Montrer que, pour chaque $i=0,\ldots,n$, il existe une base

$$\{\tau_1^{n-i},\ldots,\tau_{n_i}^{n-i}\}$$

de $H^{n-i}(M)$ telle que

$$\int_M \omega_k^i\wedge\tau_l^{n-i} = \delta_{kl},$$

où

$$\delta_{kl} = \begin{cases} 1 & \text{si }k=l,\\ 0 & \text{si }k\neq l. \end{cases}$$

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4. Décomposition des duaux de Poincaré

À l'aide de la formule de Künneth, montrer qu'il existe des réels $c_i^{k,l}$ et $d_i^{k,l}$ tels que

$$PD(\Delta) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k,l} c_i^{k,l}\, \pi^*\omega_k^i \wedge \rho^*\tau_l^{n-i},$$

et

$$PD(\Gamma) = \sum_{i=0}^{n} \sum_{k,l} d_i^{k,l}\, \pi^*\omega_k^i \wedge \rho^*\tau_l^{n-i}.$$

Déterminer ensuite explicitement les coefficients $c_i^{k,l}$ et $d_i^{k,l}$.

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5. Calcul des coefficients de $PD(\Delta)$

Montrer que

$$\int_{\Delta} \pi^*\tau_r^{n-j} \wedge \rho^*\omega_s^j = \int_M \tau_r^{n-j}\wedge\omega_s^j.$$

En déduire une expression de

$$\int_{\Delta} \pi^*\tau_r^{n-j} \wedge \rho^*\omega_s^j$$

en fonction de $\delta_{rs}$.

En utilisant ensuite la définition du dual de Poincaré,

$$\int_{\Delta} \pi^*\tau_r^{n-j} \wedge \rho^*\omega_s^j = \int_{M\times M} \pi^*\tau_r^{n-j} \wedge \rho^*\omega_s^j \wedge PD(\Delta),$$

exprimer le membre de droite en fonction des coefficients $c_j^{r,s}$.

En déduire la valeur des coefficients $c_j^{r,s}$.

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6. Calcul des coefficients de $PD(\Gamma)$

Montrer que

$$\int_{\Gamma} \pi^*\tau_r^{n-j} \wedge \rho^*\omega_s^j = \int_M \tau_r^{n-j}\wedge f^*\omega_s^j.$$

Notons

$$A_j=(A_j^{r,s})$$

la matrice de l'application linéaire induite en cohomologie

$$f^*:H^j(M)\longrightarrow H^j(M)$$

dans la base choisie.

Exprimer

$$\int_{\Gamma} \pi^*\tau_r^{n-j} \wedge \rho^*\omega_s^j$$

en fonction des coefficients $A_j^{r,s}$.

En utilisant la définition de $PD(\Gamma)$, exprimer également cette intégrale en fonction des coefficients $d_j^{r,s}$.

En déduire les coefficients $d_j^{r,s}$ en fonction des coefficients de la matrice de $f^*$.

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7. Formule de Lefschetz

Déduire des questions précédentes que

$$\boxed{ \int_{\Delta}PD(\Gamma) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \operatorname{tr} \left( f^*|_{H^i(M)} \right) }.$$

La quantité

$$L(f) = \sum_{i=0}^{n} (-1)^i \operatorname{tr} \left( f^*|_{H^i(M)} \right)$$

est appelée le nombre de Lefschetz de $f$.

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8. Application aux points fixes

Supposons maintenant que $f$ n'ait aucun point fixe.

Calculer

$$\sum_{i=0}^{n} (-1)^i \operatorname{tr} \left( f^*|_{H^i(M)} \right).$$

En déduire la contraposée classique du théorème de Lefschetz :

$$\boxed{ L(f)\neq 0 \quad\Longrightarrow\quad f\text{ possède au moins un point fixe}. }$$