Fonctions entières : ordre, type exponentiel, croissance et principe de Phragmén–Lindelöf

Fonctions entières : ordre, type exponentiel et croissance

On considère plusieurs problèmes autour de la croissance des fonctions entières : détermination de l'ordre, type exponentiel, fonctions analytiques bornées dans un demi-plan et comportement du minimum du module.

---

Exercice 1 — Ordre d'une fonction entière

Soit

$$u_n\in\{\sqrt n,n^2,2^n\}, \qquad n\geq 0.$$

(A)

On considère la fonction entière

$$f(z) = \sum_{n\in\mathbb N} \frac{u_n z^{2n}}{(2n)!}.$$

Déterminer l'ordre de $f$ pour chacun des trois choix

$$u_n=\sqrt n, \qquad u_n=n^2, \qquad u_n=2^n.$$

(B)

On considère maintenant

$$g(z) = \sum_{n\in\mathbb N} \frac{u_n z^{n^2}}{(n^2)!}.$$

Déterminer l'ordre de $g$ pour chacun des trois choix de la suite $(u_n)$.

---

Exercice 2 — Décroissance dans le demi-plan droit

Soit $h$ une fonction analytique et bornée dans le demi-plan droit

$$\{z\in\mathbb C:\operatorname{Re}z>0\}.$$

Montrer que si

$$\lim_{x\to+\infty} \frac{\log |h(x)|}{x} = -\infty,$$

alors

$$\boxed{h\equiv 0}.$$

---

Exercice 3 — Série de sinus et type exponentiel

(A)

Trouver des conditions nécessaires et suffisantes sur une suite de nombres positifs

$$(\alpha_k)_{k\geq1}$$

pour que la série

$$\sum_{k\geq1}\sin(\alpha_k z)$$

converge uniformément sur tout compact de $\mathbb C$ vers une fonction entière $w$.

(B)

Déterminer le type exponentiel de la fonction entière $w$ obtenue dans la question précédente.

---

Exercice 4 — Fonction entière de type minimal et d'ordre $2$

Soit $u\not\equiv0$ une fonction entière de type minimal pour l'ordre $2$.

Montrer que

$$\boxed{ \limsup_{x\to+\infty} |u(x)|e^{x^2} = +\infty }.$$

---

Exercice 5 — Minimum du module et ordre $1/2$

Soit $v$ une fonction entière de type minimal pour l'ordre $1/2$.

Pour $r\geq0$, on définit

$$\mu_v(r) = \min\{|v(z)|:|z|=r\}.$$

Montrer que si la fonction

$$r\longmapsto\mu_v(r)$$

est bornée sur $[0,+\infty)$, alors $v$ est constante.

Autrement dit,

$$\boxed{ \sup_{r\geq0}\mu_v(r)<+\infty \quad\Longrightarrow\quad v\text{ est constante}. }$$