Exercice : Une limite faisant intervenir $(1+kx)^{1/(kx)}$

Pour tout $k\in\{1,\ldots,n\}$, posons

$$h=kx.$$

Lorsque $x\to0$, on a également $h\to0$.

La relation donnée

$$\lim_{h\to0} \frac{\ln(1+h)-h}{h^2} = -\frac12$$

équivaut à

$$\ln(1+h) = h-\frac{h^2}{2}+o(h^2).$$

En divisant par $h$, on obtient

$$\frac{\ln(1+h)}{h} = 1-\frac h2+o(h).$$

Or

$$(1+h)^{1/h} = \exp\left( \frac{\ln(1+h)}{h} \right).$$

Ainsi,

$$(1+h)^{1/h} = \exp\left( 1-\frac h2+o(h) \right).$$

Donc

$$(1+h)^{1/h} = e\exp\left( -\frac h2+o(h) \right).$$

Comme

$$e^u=1+u+o(u) \qquad (u\to0),$$

on en déduit

$$(1+h)^{1/h} = e\left( 1-\frac h2+o(h) \right).$$

Par conséquent,

$$(1+h)^{1/h}-e = -\frac e2h+o(h).$$

En revenant à $h=kx$,

$$(1+kx)^{\frac{1}{kx}}-e = -\frac{ek}{2}x+o(x).$$

Ainsi,

$$\frac{(1+kx)^{\frac{1}{kx}}-e}{x} = -\frac{ek}{2}+o(1).$$

D'où

$$\lim_{x\to0} \frac{(1+kx)^{\frac{1}{kx}}-e}{x} = -\frac{ek}{2}.$$

La somme étant finie,

$$\begin{aligned} \lim_{x\to0} \left( \sum_{k=1}^{n} \frac{(1+kx)^{\frac{1}{kx}}-e}{x} \right) &= -\frac e2 \sum_{k=1}^{n}k \\[4pt] &= -\frac e2 \cdot \frac{n(n+1)}{2}. \end{aligned}$$

Finalement,

$$\displaystyle -\frac{e\,n(n+1)}{4}$$

Réponse : $-\frac{e\,n(n+1)}{4}$