Exercice 1
Soient (X,d) et (Y,δ) deux espaces métriques et
f:X⟶Y
une application.
1. Image d'une suite de Cauchy
Supposons que f soit uniformément continue et soit (un)n∈N une suite de Cauchy dans X.
Soit ε>0. Par continuité uniforme de f, il existe η>0 tel que
d(x,x′)<η⟹δ(f(x),f(x′))<ε.(1)
Comme (un) est une suite de Cauchy dans X, il existe N∈N tel que
m,n≥N⟹d(un,um)<η.(2)
En combinant (1) et (2), on obtient
m,n≥N⟹δ(f(un),f(um))<ε.
Ainsi,
(f(un))n∈N est une suite de Cauchy dans Y.
2. Complétude de X
Supposons maintenant que f soit un homéomorphisme uniformément continu et que Y soit complet.
Soit (un) une suite de Cauchy dans X. D'après la première question, (f(un)) est une suite de Cauchy dans Y. Comme Y est complet, il existe y∈Y tel que
f(un)⟶y.(3)
Puisque f est un homéomorphisme, elle est bijective. Il existe donc x∈X tel que
y=f(x).
De plus, f−1 est continue. En appliquant f−1 à (3), on obtient
un=f−1(f(un))⟶f−1(y)=x.
Ainsi, toute suite de Cauchy de X converge dans X. Par conséquent,
X est complet.