$\boxed{\textbf{Principe de symétrisation cyclique}}$

Pour l'exemple considéré, posons

$$P(x,y,z)=x^3+y^3+z^3-3xyz.$$

On cherche à calculer

$$S= \sum_{x,y,z\geq0} \frac{P(x,y,z)} {3^x\left(3^{x+y}+3^{y+z}+3^{x+z}\right)}.$$

Or

$$3^{x+y}+3^{y+z}+3^{x+z} = 3^{x+y+z}\left(3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}\right).$$

Ainsi,

$$S= \sum_{x,y,z\geq0} \frac{P(x,y,z)}{3^{x+y+z}} \frac{3^{-x}} {3^{-x}+3^{-y}+3^{-z}}.$$

Posons

$$F(x,y,z)=\frac{P(x,y,z)}{3^{x+y+z}}.$$

Comme $P(x,y,z)$ est symétrique, $F$ est en particulier invariante par permutation cyclique. Le principe de symétrisation cyclique, avec

$$w(n)=3^{-n},$$

donne immédiatement

$$S= \frac13 \sum_{x,y,z\geq0} \frac{x^3+y^3+z^3-3xyz}{3^{x+y+z}}.$$

On utilise alors

$$\sum_{n\geq0}\frac1{3^n}=\frac32, \qquad \sum_{n\geq0}\frac{n}{3^n}=\frac34, \qquad \sum_{n\geq0}\frac{n^3}{3^n}=\frac{33}{8}.$$

Par conséquent,

$$\begin{aligned} S &= \frac13 \left[ 3\left(\frac{33}{8}\right)\left(\frac32\right)^2 - 3\left(\frac34\right)^3 \right] \\[2mm] &= \frac{567}{64}. \end{aligned}$$

Donc

$$\boxed{S=\frac{567}{64}}.$$

L'égalité $S_1=S_2=\cdots=S_r$ vient simplement d'un changement cyclique des variables de sommation.

Par exemple, pour $S_1$,

$$S_1= \sum_{n_1,\ldots,n_r\geq0} F(n_1,\ldots,n_r) \frac{w(n_1)} {w(n_1)+\cdots+w(n_r)}.$$

Effectuons le changement de variables cyclique

$$m_1=n_2,\quad m_2=n_3,\quad\ldots,\quad m_{r-1}=n_r,\quad m_r=n_1.$$

Comme chaque $n_i$ parcourt indépendamment $\mathbb N$, les variables $m_1,\ldots,m_r$ parcourent exactement le même ensemble $\mathbb N^r$.

On a alors

$$n_1=m_r,\quad n_2=m_1,\quad\ldots,\quad n_r=m_{r-1}.$$

Ainsi,

$$S_1= \sum_{m_1,\ldots,m_r\geq0} F(m_r,m_1,\ldots,m_{r-1}) \frac{w(m_r)} {w(m_1)+\cdots+w(m_r)}.$$

Or $F$ est invariante par permutation cyclique, donc

$$F(m_r,m_1,\ldots,m_{r-1}) = F(m_1,m_2,\ldots,m_r).$$

Par conséquent,

$$S_1= \sum_{m_1,\ldots,m_r\geq0} F(m_1,\ldots,m_r) \frac{w(m_r)} {w(m_1)+\cdots+w(m_r)} = S_r.$$

En répétant le même changement cyclique, on obtient

$$S_1=S_r=S_{r-1}=\cdots=S_2.$$

Donc

$$\boxed{S_1=S_2=\cdots=S_r.}$$

Dans le cas de trois variables, c'est encore plus visible :

$$S_1= \sum_{x,y,z\geq0} F(x,y,z) \frac{w(x)}{w(x)+w(y)+w(z)}.$$

En faisant

$$(x,y,z)\mapsto(y,z,x),$$

on obtient

$$S_1= \sum_{x,y,z\geq0} F(z,x,y) \frac{w(z)}{w(x)+w(y)+w(z)} = S_3,$$

car

$$F(z,x,y)=F(x,y,z).$$

De même,

$$S_3=S_2,$$

d'où

$$\boxed{S_1=S_2=S_3.}$$